在基于规模报酬可变的输入和输出导向 DEA 中, 效率得分仅仅能够刻画输入减少以及输出增加的比例。思考下表：

如果运用输入导向可变报酬包络分析模型, 对于决策单元 4 , 我们有 $\theta^*=1, \lambda_4^*=1$, 以及可以通过诚少输入 (反应时间) 到决策单元 3。这个单独的输入减少叫做输入松弛。

实际上, 在模型计算出来之后输入和输出松弛都是存在的, 在计算完模型, 我们有$$ \begin{cases}s_i^{-}=\theta^* x_{i o}-\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}, & i=1,2, \cdots, m \\ s_r^{+}=\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-y_{r o}, & r=1,2, \cdots, s\end{cases} $$ 式中, $s_i^{-}$和 $s_r^{+}$分别表示输入及输出松弛, 对于决策单元 4 来说, 可行解 $\theta^*=$ $1, \lambda_3^*=1$ 将会导致 $s_1^{-}=2$, 然而如果模型的运行解为 $\theta^*=1, \lambda_4^*=1$, 我们 可能会错误地认为输入和输出松弛都是 0 , 即由于多重解集的存在, 模型将不会产生都不为零的松扡。

因此, 在模型计算出来之后, 我们将运用以下的线性规划模型来决定可能的非零松弛量。 $$ \begin{aligned} &\max \sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+} \\ &\text {s.t. } \\ &\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=\theta^* x_{i o}, \quad i=1,2, \cdots, m \\ &\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o,}, \quad r=1,2, \cdots, s \\ &\sum_{j=1}^n \lambda_j=1 \\ &\lambda_j \geqslant 0_{,} \end{aligned} $$ 式中, $\theta *$ 通过模型输入导向模型计算出来。 例如, 将模型模型 应用到决策单元 4 上，有 $$ \begin{aligned} &\max s_1^{-}+s_2^{-}+s_1^{+} \\ &\text {s.t. } \\ &1 \lambda_1+2 \lambda_2+4 \lambda_3+6 \lambda_4+4 \lambda_5+s_1^{-}=6 \theta^*=6 \\ &5 \lambda_1+2 \lambda_2+1 \lambda_3+1 \lambda_4+2 \lambda_5+s_2^{-}=1 \theta^*=1 \\ &15 \lambda_1+15 \lambda_2+15 \lambda_3+15 \lambda_4+15 \lambda_5-s_1^{+}=15 \\ &\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5=1 \\ &\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5, s_1^{-}, s_2^{-}, s_1^{+} \geqslant 0 \end{aligned} $$ 最优松驰为 $s_1^{-*}=2, s_2^{-*}=s_1^{-*}=0$ 。

定义 1 (DEA 有效) $\mathrm{DMU}_o$ 完全有效当且仅当(1) $\theta^*=1$ 和(2) $s_i^{-*}=s_1^{+^*}=0$

定义 2 (弱 DEA 有效) $\mathrm{DMU}_o$ 弱有效当且仅当(1) $\theta^*=1$ 和(2)对于某些 $i$ 和 $r$, 存在 $s_i^{-} \neq 0$ 或者 $s_r^{+^*} \neq 0$ 。

在上图中, 决策单元 1,2 和 3 是有效的, 而决策单元 4 是弱有效的。 实际上, 上述两个模型 代表了以下规模报酬可变的输入导向 DEA 两个阶段。 $$ \begin{array}{ll} \min \theta-\varepsilon\left(\sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+}\right) & \\ \text {s.t. } & i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=\theta x_{i o}, & \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=y_{r o}, & \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j=1 & \\ \lambda_j \geqslant 0, & j=1,2, \cdots, s \\ & \end{array} $$ 上述模型目标函数中引入非阿基米德无穷小 $\varepsilon$, 有效允许了加入松弛之后的 $\theta$ 值的最小化。因此, 模型实际上是两阶段的进程: 第一阶段最大限度减少输入, 得到最优解 $\theta^*$; 然后在第二阶段找到最优松扡变量, 使其在效率前沿进一步移动。

弱有效决策单元引起多重可行解。因此, 如果弱有效单元不存在, 第二阶段的计算将变得不必要。然而, 在计算之前我们并不知道弱有效决策单元是否存在。

类似地, 基于规模报酬可变的输出导向 DEA 可表示为 $$ \max \phi+\varepsilon\left(\sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^* s_r^{+}\right) $$ s.t. $\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o}, \quad i=1,2, \cdots, m$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=\phi y_{r o,} \quad r=1,2, \cdots, s$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j=1$ $\lambda_j \geqslant 0, \quad j=1,2, \cdots, n$

上述模型也是通过两个阶段过程计算的。首先, 在忽略松弛的基础上算出 $\phi^*$ 输出导向型模型, 然后再在 $\phi^*$ 的基础上眼据以下的模型确定松弛: $\max \sum_{i=1}^m s_i^{-}+\sum_{r=1}^s s_r^{+}$ s.t. $\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}+s_i^{-}=x_{i o}, \quad i=1,2, \cdots, m$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{+}=\phi^* y_{r o} \quad r=1,2, \cdots, s$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j=1$ $\lambda_j \geqslant 0, \quad j=1,2, \cdots, n$

定义 3 $\mathrm{DMU}_0$ 完全有效当且仅当 $\phi^*=1$ 和对所有 $i$ 和 $r$ 都有 $s_i^{-*}=s_r^{+*}=$ $0, \mathrm{DMU}_o$ 弱有效当且仅当 $\phi^*=1$ 和对于某些 $i$ 和 $r$, 存在 $s_i^{-*} \neq 0$ 或者 $s_r^{+*} \neq 0$ 。 如果弱有效单元不存在, 那么上式没有计算的必要, 并且松扡可以通过以下模型获得 $$ \begin{cases}s_i^{-}=x_{i o}-\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j}, & i=1,2, \cdots, m \\ s_r^{+}=\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-\phi^* y_{r o} & r=1,2, \cdots, s\end{cases} $$ 包络分析模型的结果可以这样解释:

  • (1) 如果 $\theta^*$ 或者 $\phi^*=1$, 那么评价单元位于有效前沿上, 即没有其他的决策单元比该评价决策单元更为有效。此外, 如果 $\theta^*<1$ 或者 $\phi^*>1$, 那么评价单元是无效的, 即该决策单元要么可以增加输出要么可以减少输入。

DEA 完全有效和相对效率定义如下:

定义 4 完全有效 $(100 \%)$ 。当且仅当决策单元如果不恶化其他输入或者输出, 那么就无法改善任一输入或者输出, 则该决策单元是完全有效。

定义 5 (相对有效)。当且仅当其他的次策单元没有表现出在不恶化某些输入或者输出情况下改善输入或者输出, 则某决策单元被认定为相对有效。

参考资料：